P(x) Polinomios
Temario / Módulo 7
7

Teoremas del resto y del factor

Raíces sin dividir

Al terminar sabrás

  • Calcular el resto de dividir entre x − a sin dividir
  • Relacionar raíz, factor y división exacta
  • Buscar raíces enteras con los divisores del término independiente
  • Calcular parámetros imponiendo P(a)=0

Teorema del resto

Para saber el resto de dividir entre x − a no hace falta dividir:

El resto de P(x) ÷ (x−a) es P(a)

Ejemplo: resto de 2x3 + 3x2 − x + 5 ÷ (x + 1). Aquí a = −1.

  1. Sustituye x por (−1): 2·(−1)3 + 3·(−1)2 − (−1) + 5
  2. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): −2 + 3 + 1 + 5
  3. Suma: P(−1) = 7

Con Ruffini sale lo mismo (el último número de la tabla):

23−15
−1−2−12
21−27
Idea clave
Sustituir en P es mucho más corto que dividir, y da exactamente el mismo resto.

Teorema del factor

Si el resto es 0, la división es exacta y x − a cabe justo en P(x). Estas cuatro frases dicen lo mismo:

  • P(a) = 0
  • a es una raíz de P
  • x − a es un factor de P(x)
  • La división de P(x) entre x − a es exacta

Ejemplo: ¿es (x + 2) un factor de x3 + 2x2 − x − 2? Calculamos P(−2):

  1. Sustituye x por (−2): (−2)3 + 2·(−2)2 − (−2) − 2
  2. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): −8 + 8 + 2 − 2
  3. Suma: P(−2) = 0

Como P(−2) = 0, sí lo es.

Cómo encontrar raíces: las candidatas

Si un polinomio tiene coeficientes enteros y su coeficiente principal es 1, sus raíces enteras son divisores del término independiente. Busca raíces de x3 − 2x2 − 5x + 6. El término independiente es 6, cuyos divisores son ±1, ±2, ±3, ±6.

CandidataValor
P(1)0raíz
P(−1)8
P(2)−4
P(−2)0raíz
P(3)0raíz
P(−3)−24
P(6)120
P(−6)−252

Las raíces son 1, −2 y 3, así que x3 − 2x2 − 5x + 6 = (x − 1)(x + 2)(x − 3).

Truco
Prueba primero con 1 y −1: son las más rápidas de calcular. En cuanto encuentres una raíz, baja el grado con Ruffini y sigue con lo que queda.
Para ir más allá
Si el coeficiente principal no es 1, las raíces racionales son de la forma pq, con p divisor del término independiente y q divisor del coeficiente principal.

Calcular un parámetro

Halla k para que x3 + kx2 − 5x + 6 sea divisible entre (x − 2).

  1. Divisible entre x−2 significa que el resto es 0, es decir, P(2) = 0.
  2. Sustituye: 23 + k·22 − 5·2 + 6 = 0.
  3. Calcula: 8 + 4k − 10 + 6 = 0, o sea 4k + 4 = 0.
  4. Despeja: k = −1.

Comprobación: con k = −1, P(x) = x3 − x2 − 5x + 6 y P(2) = 8 − 4 − 10 + 6 = 0 ✓

Errores típicos

Mal
El resto de dividir entre x+3 es P(3)
Bien
El resto de dividir entre x+3 es P(−3)

El divisor es x − (−3), así que a = −3.

Mal
P(1) = 0, por tanto x + 1 es un factor
Bien
P(1) = 0, por tanto x − 1 es un factor

Si a es raíz, el factor es x − a: el signo se cambia.

Mal
P(2) = 5, así que la división entre x−2 es exacta
Bien
P(2) = 5, así que el resto es 5 y no es exacta

Solo es exacta si el valor es 0.

Pruébalo tú

Resuelve primero en tu cuaderno y luego comprueba.

Pruébalo tú

Calcula el resto de dividir x3 − 4x2 + x + 6 entre (x − 3) sin hacer la división.

Comprobar mi resultado
  1. Sustituye x por 3: (3)3 − 4·(3)2 + (3) + 6
  2. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): 27 − 36 + 3 + 6
  3. Suma: P(3) = 0

Resultado: 0, así que la división es exacta

Pruébalo tú

¿Es (x + 1) un factor de x3 + x2 − 4x − 4?

Comprobar mi resultado
  1. Sustituye x por (−1): (−1)3 + (−1)2 − 4·(−1) − 4
  2. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): −1 + 1 + 4 − 4
  3. Suma: P(−1) = 0

Resultado: Sí, porque P(−1) = 0

Ahora practica
5 ejercicios con solución paso a paso, de básico a reto.
Ir a los ejercicios