P(x) Polinomios
Temario / Módulo 1
1

El lenguaje de los polinomios

Monomios, grado, coeficientes y valor numérico

Al terminar sabrás

  • Reconocer monomios y polinomios
  • Identificar grado, coeficiente principal y término independiente
  • Ordenar y completar un polinomio
  • Calcular el valor numérico P(a)

El monomio: la pieza básica

Un monomio es un número multiplicado por una letra elevada a un exponente entero (0, 1, 2, 3…). Cada parte tiene nombre:

  • Coeficiente: el número que multiplica. Si no se ve, vale 1: x2 tiene coeficiente 1 y −x tiene coeficiente −1.
  • Grado: el exponente de la letra. Un número suelto, como 7, es un monomio de grado 0 (porque 7 = 7x0).
  • Monomios semejantes: los que tienen la misma parte literal. 3x2 y −8x2 son semejantes; 3x2 y 3x no.
Idea clave
Solo se pueden juntar monomios semejantes. Esta idea vuelve en la suma, la resta y la factorización.

El polinomio: monomios que se suman

Un polinomio es una suma de monomios que no son semejantes entre sí. Lo escribimos como P(x), y se lee «P de x». Estudiemos 4x3 − 2x2 + x − 7:

TérminoCoeficienteGrado
4x343
−2x2−22
x11
−7−70
  • Grado del polinomio: el mayor exponente que aparece. Aquí es 3.
  • Coeficiente principal: el del término de mayor grado. Aquí es 4.
  • Término independiente: el que no lleva x. Aquí es −7, y coincide con P(0).
  • Según el número de términos: binomio (2), trinomio (3), y de ahí en adelante, polinomio.

Ordenar y completar

Para dividir (módulos 5 y 6) hace falta el polinomio ordenado y completo.

  1. Ordena de mayor a menor grado. −x3 + 2x + 5 se ordena como −x3 + 2x + 5.
  2. Completa los grados que faltan con coeficiente 0. Aquí falta x2: queda −x3 + 0x2 + 2x + 5.
  3. Los coeficientes en orden son: −1, 0, 2, 5. Con esta lista se trabaja en Ruffini.
Truco
Cuando falte un grado, escribe el 0 en su sitio. Olvidarlo desalinea todas las operaciones siguientes.

Valor numérico: sustituir la x

El valor numérico de P(x) para x=a es el número que sale al sustituir la letra por a y calcular. Se escribe P(a).

Ejemplo: calcula P(4) para x2 − 3x + 2.

  1. Sustituye x por 4: (4)2 − 3·(4) + 2
  2. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): 16 − 12 + 2
  3. Suma: P(4) = 6

Cuando x vale un número negativo, escríbelo siempre entre paréntesis:

  1. Sustituye x por (−2): (−2)2 − 3·(−2) + 2
  2. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): 4 + 6 + 2
  3. Suma: P(−2) = 12
Idea clave
Si P(a)=0, el número a se llama raíz del polinomio. Es la base de los módulos 7 y 8.

Errores típicos

Mal
Con x=−2: x2 = −22 = −4
Bien
Con x=−2: x2 = (−2)2 = 4

Sin paréntesis, el exponente solo afecta al 2. Con paréntesis, afecta al número entero, signo incluido.

Mal
x2 tiene coeficiente 0 (porque no se ve ningún número)
Bien
x2 tiene coeficiente 1

Un número que no se escribe es 1, no 0. El 0 es el coeficiente de un grado que no aparece en absoluto.

Pruébalo tú

Resuelve primero en tu cuaderno y luego comprueba.

Pruébalo tú

Di el grado, el coeficiente principal y el término independiente de −2x5 + x3 − 4x + 9.

Comprobar mi resultado
  1. El mayor exponente es 5, así que el grado es 5.
  2. El coeficiente de x5 es −2.
  3. El término sin x es 9.

Resultado: grado 5, coeficiente principal −2, término independiente 9.

Pruébalo tú

Calcula P(−1) para x3 − 2x2 + 5.

Comprobar mi resultado
  1. Sustituye x por (−1): (−1)3 − 2·(−1)2 + 5
  2. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): −1 − 2 + 5
  3. Suma: P(−1) = 2

Resultado: 2

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