Ejercicios

1. El mayor exponente es 4: grado 4.
2. El coeficiente de x⁴ es 3: coeficiente principal 3.
3. El término sin x es −7: término independiente −7.
4. Faltan x³ (coeficiente 0): no es completo. Completo sería 3x⁴ − 5x² + x − 7.

Resultado: grado 4, coeficiente principal 3, término independiente −7, no completo

1. Ordena de mayor a menor grado: −x³ + 2x + 5.
2. Falta x²: añade 0x².
3. Lista de coeficientes: −1, 0, 2, 5.

Resultado: −x³+0x²+2x+5, coeficientes −1, 0, 2, 5

1. Sustituye x por 2: (2)³ − 3·(2)² + 2·(2) − 5
2. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): 8 − 12 + 4 − 5
3. Suma: P(2) = −5

Resultado: −5

1. Sustituye x por (−1): 2·(−1)⁴ + (−1)³ − (−1) + 3
2. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): 2 − 1 + 1 + 3
3. Suma: P(−1) = 5

Resultado: 5

1. Sustituye x = 1: 1² + k·1 − 6 = 0.
2. Simplifica: k − 5 = 0.
3. Despeja: k = 5.

Resultado: k = 5

1. Quita los paréntesis. Queda: 4x³ − 2x² + 5 + x² − 3x − 1
2. Agrupa los términos semejantes (mismo grado) y suma sus coeficientes:
   • los términos en x³: 4 = 4
   • los términos en x²: −2 + 1 = −1
   • los términos en x: −3 = −3
   • los números: 5 + (−1) = 4
3. Junta el resultado: 4x³ − x² − 3x + 4

Resultado: 4x³ − x² − 3x + 4

1. Quita los paréntesis. Queda: x³ − 4x + 1 + 2x³ + x² + 4x − 6 − 3x³ + 5
2. Agrupa los términos semejantes (mismo grado) y suma sus coeficientes:
   • los términos en x³: 1 + 2 + (−3) = 0
   • los términos en x²: 1 = 1
   • los términos en x: −4 + 4 = 0
   • los números: 1 + (−6) + 5 = 0
3. Junta el resultado: x²

Resultado: x²

1. Quita los paréntesis. Delante de un paréntesis con signo menos cambian los signos de todos sus términos (en rojo). Queda: 7x² − 3x + 2 − 4x² − x + 5
2. Agrupa los términos semejantes (mismo grado) y suma sus coeficientes:
   • los términos en x²: 7 + (−4) = 3
   • los términos en x: −3 + (−1) = −4
   • los números: 2 + 5 = 7
3. Junta el resultado: 3x² − 4x + 7

Resultado: 3x² − 4x + 7

1. Quita los paréntesis. Delante de un paréntesis con signo menos cambian los signos de todos sus términos (en rojo). Queda: 2x³ − x² + 6 − x³ − 3x² + 2x − 1 + x² − x
2. Agrupa los términos semejantes (mismo grado) y suma sus coeficientes:
   • los términos en x³: 2 + (−1) = 1
   • los términos en x²: −1 + (−3) + 1 = −3
   • los términos en x: 2 + (−1) = 1
   • los números: 6 + (−1) = 5
3. Junta el resultado: x³ − 3x² + x + 5

Resultado: x³ − 3x² + x + 5

1. Si P + S = Q, entonces S = Q − P.
2. Quita los paréntesis. Delante de un paréntesis con signo menos cambian los signos de todos sus términos (en rojo). Queda: x³ + x² + 5 − 3x² + 2x − 1
3. Agrupa los términos semejantes (mismo grado) y suma sus coeficientes:
   • los términos en x³: 1 = 1
   • los términos en x²: 1 + (−3) = −2
   • los términos en x: 2 = 2
   • los números: 5 + (−1) = 4
4. Junta el resultado: x³ − 2x² + 2x + 4

Resultado: x³ − 2x² + 2x + 4

1. Multiplica cada término del primer factor por el segundo:
   • (−3x²) · (4x³ − x + 2) = −12x⁵ + 3x³ − 6x²

Resultado: −12x⁵ + 3x³ − 6x²

1. Multiplica cada término del primer factor por el segundo:
   • x · (x − 4) = x² − 4x
   • 6 · (x − 4) = 6x − 24
2. Suma los resultados: x² − 4x + 6x − 24
   y agrupa los términos semejantes.
3. Resultado: x² + 2x − 24

Resultado: x² + 2x − 24

1. Multiplica cada término del primer factor por el segundo:
   • 2x · (3x + 5) = 6x² + 10x
   • (−3) · (3x + 5) = −9x − 15
2. Suma los resultados: 6x² + 10x − 9x − 15
   y agrupa los términos semejantes.
3. Resultado: 6x² + x − 15

Resultado: 6x² + x − 15

1. Multiplica cada término del primer factor por el segundo:
   • x · (x² + 2x + 4) = x³ + 2x² + 4x
   • (−2) · (x² + 2x + 4) = −2x² − 4x − 8
2. Suma los resultados: x³ + 2x² + 4x − 2x² − 4x − 8
   y agrupa los términos semejantes.
3. Resultado: x³ − 8

Resultado: x³ − 8

1. Multiplica primero los dos primeros: (x + 1)(x − 1) = x² − 1.
2. Ahora multiplica el resultado por el tercero: (x² − 1)(x + 3).
3. Multiplica cada término del primer factor por el segundo:
   • x² · (x + 3) = x³ + 3x²
   • (−1) · (x + 3) = −x − 3
4. Suma los resultados: x³ + 3x² − x − 3
   y agrupa los términos semejantes.
5. Resultado: x³ + 3x² − x − 3

Resultado: x³ + 3x² − x − 3

1. Identifica a y b: a = x, b = 9.
2. Aplica la fórmula (a+b)² = a² + 2ab + b².
3. Sustituye: (x)² + 2·(x)·(9) + (9)².
4. Calcula cada parte y ordena: x² + 18x + 81

Resultado: x² + 18x + 81

1. Identifica a y b: a = 4x, b = 1.
2. Aplica la fórmula (a−b)² = a² − 2ab + b².
3. Sustituye: (4x)² − 2·(4x)·(1) + (1)².
4. Calcula cada parte y ordena: 16x² − 8x + 1

Resultado: 16x² − 8x + 1

1. Identifica a y b: a = 6x, b = 5.
2. Aplica la fórmula (a+b)(a−b) = a² − b².
3. Sustituye: (6x)² − (5)².
4. Calcula cada parte y ordena: 36x² − 25

Resultado: 36x² − 25

1. Identifica a y b: a = x, b = 3.
2. Aplica la fórmula (a+b)³ = a³ + 3a^2b + 3ab² + b³.
3. Sustituye: (x)³ + 3·(x)²·(3) + 3·(x)·(3)² + (3)³.
4. Calcula cada parte y ordena: x³ + 9x² + 27x + 27

Resultado: x³ + 9x² + 27x + 27

1. Identifica a y b: a = 2x, b = 1.
2. Aplica la fórmula (a−b)³ = a³ − 3a^2b + 3ab² − b³.
3. Sustituye: (2x)³ − 3·(2x)²·(1) + 3·(2x)·(1)² − (1)³.
4. Calcula cada parte y ordena: 8x³ − 12x² + 6x − 1

Resultado: 8x³ − 12x² + 6x − 1

1. a) Primer y último término son cuadrados: x² y 7². El doble producto es 2·x·7 = 14x, que coincide con el término central. Es un trinomio cuadrado perfecto: (x − 7)².
2. b) Es una resta de cuadrados: (3x)² − 10². Se factoriza como suma por diferencia: (3x − 10)(3x + 10).

Resultado: a) (x − 7)² b) (3x − 10)(3x + 10)

1. 	x3	x2	x	1
   Dividendo	8	4	−6	5
   −(4x2)(2x + 1)	−8	−4
   Resta			−6	5
   −(−3)(2x + 1)			6	3
   Resta				8

   Divisor2x + 1

   Cociente4x² − 3

   Resto8
   1. Ronda 1. Divide los primeros términos: 8x³ ÷ 2x = 4x². Multiplica por todo el divisor: (4x²)(2x + 1) = 8x³ + 4x². Resta (cambia los signos): queda −6x + 5.
   2. Ronda 2. Divide los primeros términos: −6x ÷ 2x = −3. Multiplica por todo el divisor: (−3)(2x + 1) = −6x − 3. Resta (cambia los signos): queda 8.
2. Comprobación: d(x)·c(x) + r(x) = (2x + 1)(4x² − 3) + 8 = 8x³ + 4x² − 6x + 5 ✓

Resultado: cociente 4x² − 3, resto 8

1. 	x2	x	1
   Dividendo	6	7	−5
   −(2x)(3x − 1)	−6	2
   Resta		9	−5
   −(3)(3x − 1)		−9	3
   Resta			−2

   Divisor3x − 1

   Cociente2x + 3

   Resto−2
   1. Ronda 1. Divide los primeros términos: 6x² ÷ 3x = 2x. Multiplica por todo el divisor: (2x)(3x − 1) = 6x² − 2x. Resta (cambia los signos): queda 9x − 5.
   2. Ronda 2. Divide los primeros términos: 9x ÷ 3x = 3. Multiplica por todo el divisor: (3)(3x − 1) = 9x − 3. Resta (cambia los signos): queda −2.
2. Comprobación: d(x)·c(x) + r(x) = (3x − 1)(2x + 3) + −2 = 6x² + 7x − 5 ✓

Resultado: cociente 2x + 3, resto −2

1. 	x3	x2	x	1
   Dividendo	1	0	0	−27
   −(x2)(x − 3)	−1	3
   Resta		3	0	−27
   −(3x)(x − 3)		−3	9
   Resta			9	−27
   −(9)(x − 3)			−9	27
   Resta				0

   Divisorx − 3

   Cocientex² + 3x + 9

   Resto0
   1. Ronda 1. Divide los primeros términos: x³ ÷ x = x². Multiplica por todo el divisor: (x²)(x − 3) = x³ − 3x². Resta (cambia los signos): queda 3x² − 27.
   2. Ronda 2. Divide los primeros términos: 3x² ÷ x = 3x. Multiplica por todo el divisor: (3x)(x − 3) = 3x² − 9x. Resta (cambia los signos): queda 9x − 27.
   3. Ronda 3. Divide los primeros términos: 9x ÷ x = 9. Multiplica por todo el divisor: (9)(x − 3) = 9x − 27. Resta (cambia los signos): queda 0.
2. Comprobación: d(x)·c(x) + r(x) = (x − 3)(x² + 3x + 9) + 0 = x³ − 27 ✓

Resultado: cociente x² + 3x + 9, resto 0

1. 	x3	x2	x	1
   Dividendo	1	1	−4	3
   −(x2)(x − 1)	−1	1
   Resta		2	−4	3
   −(2x)(x − 1)		−2	2
   Resta			−2	3
   −(−2)(x − 1)			2	−2
   Resta				1

   Divisorx − 1

   Cocientex² + 2x − 2

   Resto1
   1. Ronda 1. Divide los primeros términos: x³ ÷ x = x². Multiplica por todo el divisor: (x²)(x − 1) = x³ − x². Resta (cambia los signos): queda 2x² − 4x + 3.
   2. Ronda 2. Divide los primeros términos: 2x² ÷ x = 2x. Multiplica por todo el divisor: (2x)(x − 1) = 2x² − 2x. Resta (cambia los signos): queda −2x + 3.
   3. Ronda 3. Divide los primeros términos: −2x ÷ x = −2. Multiplica por todo el divisor: (−2)(x − 1) = −2x + 2. Resta (cambia los signos): queda 1.
2. Comprobación: d(x)·c(x) + r(x) = (x − 1)(x² + 2x − 2) + 1 = x³ + x² − 4x + 3 ✓

Resultado: cociente x² + 2x − 2, resto 1

1. 	x4	x3	x2	x	1
   Dividendo	2	0	−3	1	−1
   −(2x2)(x2 − x + 1)	−2	2	−2
   Resta		2	−5	1	−1
   −(2x)(x2 − x + 1)		−2	2	−2
   Resta			−3	−1	−1
   −(−3)(x2 − x + 1)			3	−3	3
   Resta				−4	2

   Divisorx² − x + 1

   Cociente2x² + 2x − 3

   Resto−4x + 2
   1. Ronda 1. Divide los primeros términos: 2x⁴ ÷ x² = 2x². Multiplica por todo el divisor: (2x²)(x² − x + 1) = 2x⁴ − 2x³ + 2x². Resta (cambia los signos): queda 2x³ − 5x² + x − 1.
   2. Ronda 2. Divide los primeros términos: 2x³ ÷ x² = 2x. Multiplica por todo el divisor: (2x)(x² − x + 1) = 2x³ − 2x² + 2x. Resta (cambia los signos): queda −3x² − x − 1.
   3. Ronda 3. Divide los primeros términos: −3x² ÷ x² = −3. Multiplica por todo el divisor: (−3)(x² − x + 1) = −3x² + 3x − 3. Resta (cambia los signos): queda −4x + 2.
2. Comprobación: d(x)·c(x) + r(x) = (x² − x + 1)(2x² + 2x − 3) + −4x + 2 = 2x⁴ − 3x² + x − 1 ✓

Resultado: cociente 2x² + 2x − 3, resto −4x + 2

1. Divisor (x − 2) → a = 2. Coeficientes (completos): 1, 3, −4, −12.

2. 	1	3	−4	−12
   2		2	10	12
   	1	5	6	0

3. Cociente: x² + 5x + 6. Resto: 0.

Resultado: cociente x² + 5x + 6, resto 0

1. Divisor (x − 1) → a = 1. Coeficientes (completos): 2, −1, 3, −5.

2. 	2	−1	3	−5
   1		2	1	4
   	2	1	4	−1

3. Cociente: 2x² + x + 4. Resto: −1.

Resultado: cociente 2x² + x + 4, resto −1

1. Divisor (x + 3) → a = −3. Coeficientes (completos): 1, 0, −7, 6.

2. 	1	0	−7	6
   −3		−3	9	−6
   	1	−3	2	0

3. Cociente: x² − 3x + 2. Resto: 0.

Resultado: cociente x² − 3x + 2, resto 0

1. Divisor (x + 1) → a = −1. Coeficientes (completos): 3, 2, 0, −1, 4.

2. 	3	2	0	−1	4
   −1		−3	1	−1	2
   	3	−1	1	−2	6

3. Cociente: 3x³ − x² + x − 2. Resto: 6.

Resultado: cociente 3x³ − x² + x − 2, resto 6

1. Divisor (x − 3) → a = 3. Coeficientes (completos): 1, 0, −3, 2, −1.

2. 	1	0	−3	2	−1
   3		3	9	18	60
   	1	3	6	20	59

3. Cociente: x³ + 3x² + 6x + 20. Resto: 59.

Resultado: cociente x³ + 3x² + 6x + 20, resto 59

1. Por el teorema del resto, el resto es P(2).
2. Sustituye x por 2: (2)³ − 2·(2)² + (2) − 5
3. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): 8 − 8 + 2 − 5
4. Suma: P(2) = −3

Resultado: resto −3

1. Es factor si y solo si P(3) = 0.
2. Sustituye x por 3: (3)³ − 4·(3)² + (3) + 6
3. Calcula cada término (primero las potencias, luego los productos): 27 − 36 + 3 + 6
4. Suma: P(3) = 0

Resultado: Sí, porque P(3) = 0

1. Divisible entre x+1 significa P(−1) = 0.
2. Sustituye: (−1)³ + k·(−1)² − 4·(−1) − 4 = 0.
3. Calcula: −1 + k + 4 − 4 = 0, es decir k − 1 = 0.
4. Despeja: k = 1.

Resultado: k = 1

1. Divisores de −8: ±1, ±2, ±4, ±8.
2. Prueba cada uno:

   Candidata	Valor
   P(1)	−18
   P(−1)	0	raíz
   P(2)	−24
   P(−2)	0	raíz
   P(4)	0	raíz
   P(−4)	−48
   P(8)	360
   P(−8)	−504

3. Hay tres raíces: −2, −1 y 4. (Con Ruffini a −1 queda x² − 2x − 8, que es (x+2)(x−4).)

Resultado: raíces −2, −1 y 4; (x + 2)(x + 1)(x − 4)

1. El resto es P(2), y debe valer 4.
2. Sustituye: 2³ + m·2 − 6 = 4.
3. Calcula: 8 + 2m − 6 = 4, o sea 2m + 2 = 4.
4. Despeja: m = 1.
5. Comprobación: P(2) = 8 + 2 − 6 = 4 ✓

Resultado: m = 1

1. Factor común 5x: 5x(x²−4).
2. Diferencia de cuadrados: x²−4 = (x−2)(x+2).

Resultado: 5x(x − 2)(x + 2)

1. Comprueba: (3x)², 2², y el doble producto 2·3x·2=12x coincide con el término central.
2. Es un trinomio cuadrado perfecto: (3x + 2)².

Resultado: (3x + 2)²

1. Divisores de −24. Probamos −2: P(−2) = −8+4+28−24 = 0, así que es raíz.
2. Ruffini con a = −2:

   	1	1	−14	−24
   −2		−2	2	24
   	1	−1	−12	0

3. Queda x² − x − 12. Sus raíces son 4 y −3: x²−x−12 = (x−4)(x+3).
4. Resultado: (x + 2)(x − 4)(x + 3)

Resultado: (x + 2)(x − 4)(x + 3)

1. Con t = x² queda t² − 5t + 4.
2. Sus raíces: t = 5 ± 32, es decir t = 4 y t = 1. Así que t²−5t+4 = (t−4)(t−1).
3. Vuelve a x: (x²−4)(x²−1).
4. Cada paréntesis es una diferencia de cuadrados.

Resultado: (x − 2)(x + 2)(x − 1)(x + 1)

1. Probamos −2: P(−2) = −16 − 4 + 26 − 6 = 0, así que es raíz.
2. Ruffini con a = −2:

   	2	−1	−13	−6
   −2		−4	10	6
   	2	−5	−3	0

3. Queda 2x² − 5x − 3. Con la fórmula: x = 5 ± √(25+24)4 = 5 ± 74, así que x = 3 y x = −12.
4. Un segundo grado se factoriza como a(x−x₁)(x−x₂): 2(x−3)(x+12), que es (x−3)(2x+1).
5. Resultado: (x + 2)(2x + 1)(x − 3)

Resultado: (x + 2)(2x + 1)(x − 3)