Regla de Ruffini
Dividir entre x−a usando solo los coeficientes
Al terminar sabrás
- Saber cuándo se puede aplicar Ruffini
- Montar la tabla y completarla
- Leer cociente y resto
- Manejar divisores x + a y términos que faltan
Un atajo para dividir entre x − a
La regla de Ruffini divide un polinomio entre un binomio de la forma x − a usando solo los coeficientes. Es la división de siempre, pero sin escribir las letras.
| Divisor | Valor de a |
|---|---|
| (x − 2) | a = 2 |
| (x + 1) | a = −1 |
| (x − 5) | a = 5 |
| (x + 3) | a = −3 |
Cómo se hace
Divide x3 − 4x2 + x + 6 entre (x − 2). Los coeficientes son 1, −4, 1, 6 y a = 2.
| 1 | −4 | 1 | 6 | |
| 2 | 2 | −4 | −6 | |
| 1 | −2 | −3 | 0 |
- Baja el primer coeficiente tal cual (el 1).
- Multiplica el número de abajo por a y colócalo en la columna siguiente: 1·2 = 2.
- Suma esa columna: −4 + 2 = −2.
- Repite (multiplica, suma) hasta el final: −2·2 = −4, 1−4 = −3; −3·2 = −6, 6−6 = 0.
- Lee el resultado: el último número es el resto (0). Los demás son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos: x2 − 2x − 3.
Ejemplo con resto distinto de cero
Divide 2x3 + 3x2 − x + 5 entre (x + 1). Aquí a = −1.
| 2 | 3 | −1 | 5 | |
| −1 | −2 | −1 | 2 | |
| 2 | 1 | −2 | 7 |
Cociente: 2x2 + x − 2. Resto: 7. Comprobación: (x+1)(2x2+x−2) + 7 = 2x3 + 3x2 − x + 5.
Pruébalo con tus propios números
Escribe los coeficientes (con ceros donde falten) y el valor de a. Avanza paso a paso y mira cómo se va llenando la tabla.
Si el divisor no empieza por x
Para un divisor como (2x − 4), saca factor común: 2x−4 = 2(x−2). Aplica Ruffini con a = 2 y divide el cociente entre 2. El resto no cambia.
Ejemplo con 4x3 − 6x2 + 2x + 8: Ruffini da cociente 4x2 + 2x + 6 y resto 20. Cociente real: 2x2 + x + 3, resto 20.
Comprobación: (2x−4)(2x2 + x + 3) + 20 = 4x3 − 6x2 + 2x + 8 ✓
Errores típicos
El divisor es x − (−2), así que a = −2.
Si falta un grado, su coeficiente es 0 y hay que escribirlo.
Siempre un grado menos que el dividendo.
Pruébalo tú
Resuelve primero en tu cuaderno y luego comprueba.
Divide x3 − 6x2 + 11x − 6 entre (x − 1) con Ruffini.
Comprobar mi resultado
1 −6 11 −6 1 1 −5 6 1 −5 6 0
Resultado: cociente x2 − 5x + 6, resto 0
Divide 3x3 − 2x + 4 entre (x + 2) con Ruffini (ojo: falta x2).
Comprobar mi resultado
- Coeficientes: 3, 0, −2, 4 y a = −2.
3 0 −2 4 −2 −6 12 −20 3 −6 10 −16
Resultado: cociente 3x2 − 6x + 10, resto −16
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