P(x) Polinomios
Temario / Módulo 5
5

División de polinomios

El algoritmo paso a paso y la comprobación

Al terminar sabrás

  • Entender D = d·c + r
  • Aplicar el bucle: dividir, multiplicar, restar, repetir
  • Completar el dividendo con ceros
  • Comprobar el resultado

Dividir polinomios es como dividir números

Con números: 17 ÷ 5 da cociente 3 y resto 2, porque 17 = 5·3 + 2. Con polinomios pasa lo mismo.

NombreLetraCon númerosCon polinomios
DividendoD(x)17el que se reparte
Divisord(x)5entre el que se reparte
Cocientec(x)3el resultado
Restor(x)2lo que sobra

D(x) = d(x)·c(x) + r(x)

Idea clave
La división termina cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. Si el resto es 0, la división es exacta.

El bucle de cuatro pasos

Se repite una ronda hasta que no se pueda seguir:

  1. Divide el primer término del dividendo (o del resto actual) entre el primer término del divisor. Eso es un término del cociente.
  2. Multiplica ese término por todo el divisor.
  3. Resta el resultado al dividendo. Cambia todos los signos y suma.
  4. Repite con lo que queda, hasta que su grado sea menor que el del divisor.

Ejemplo paso a paso

Divide 6x3 + x2 − 10x + 4 entre (2x + 3).

Cada fila de la tabla es un paso. Las columnas son los grados, así que lo que se resta queda alineado.

x3x2x1
Dividendo61−104
−(3x2)(2x + 3)−6−9
Resta−8−104
−(−4x)(2x + 3)812
Resta24
−(1)(2x + 3)−2−3
Resta1
Divisor2x + 3
Cociente3x2 − 4x + 1
Resto1
  1. Ronda 1. Divide los primeros términos: 6x3 ÷ 2x = 3x2. Multiplica por todo el divisor: (3x2)(2x + 3) = 6x3 + 9x2. Resta (cambia los signos): queda −8x2 − 10x + 4.
  2. Ronda 2. Divide los primeros términos: −8x2 ÷ 2x = −4x. Multiplica por todo el divisor: (−4x)(2x + 3) = −8x2 − 12x. Resta (cambia los signos): queda 2x + 4.
  3. Ronda 3. Divide los primeros términos: 2x ÷ 2x = 1. Multiplica por todo el divisor: (1)(2x + 3) = 2x + 3. Resta (cambia los signos): queda 1.

Comprobación: d(x)·c(x) + r(x) = (2x + 3)(3x2 − 4x + 1) + 1 = 6x3 + x2 − 10x + 4 ✓

Si faltan términos, escribe los ceros

Divide x3 − 8 entre (x − 2). El dividendo no tiene x2 ni x: hay que completarlo como x3 + 0x2 + 0x − 8.

x3x2x1
Dividendo100−8
−(x2)(x − 2)−12
Resta20−8
−(2x)(x − 2)−24
Resta4−8
−(4)(x − 2)−48
Resta0
Divisorx − 2
Cocientex2 + 2x + 4
Resto0
  1. Ronda 1. Divide los primeros términos: x3 ÷ x = x2. Multiplica por todo el divisor: (x2)(x − 2) = x3 − 2x2. Resta (cambia los signos): queda 2x2 − 8.
  2. Ronda 2. Divide los primeros términos: 2x2 ÷ x = 2x. Multiplica por todo el divisor: (2x)(x − 2) = 2x2 − 4x. Resta (cambia los signos): queda 4x − 8.
  3. Ronda 3. Divide los primeros términos: 4x ÷ x = 4. Multiplica por todo el divisor: (4)(x − 2) = 4x − 8. Resta (cambia los signos): queda 0.

Comprobación: d(x)·c(x) + r(x) = (x − 2)(x2 + 2x + 4) + 0 = x3 − 8 ✓

Truco
Como el resto es 0, la división es exacta y x−2 es un factor de x3−8. Verás por qué en el módulo 7.

Errores típicos

Mal
Al restar 6x3 + x2 − (6x3 + 9x2): x2 + 9x2 = 10x2
Bien
Al restar: x2 − 9x2 = −8x2

Restar es cambiar todos los signos del producto. En la tabla de arriba, la fila de la resta ya viene cambiada.

Mal
Seguir dividiendo cuando el resto es 1 y el divisor es 2x+3.
Bien
Parar: el resto tiene grado 0 y el divisor grado 1, así que la división ha terminado.

No se pueden obtener más términos enteros del cociente.

Mal
Dividir x3 − 8 sin escribir 0x2 y 0x.
Bien
Escribir x3 + 0x2 + 0x − 8 antes de empezar.

Sin los ceros, las columnas no se alinean y los términos se mezclan.

Pruébalo tú

Resuelve primero en tu cuaderno y luego comprueba.

Pruébalo tú

Divide 2x3 − 3x2 + 4x − 5 entre (x2 + 1).

Comprobar mi resultado
  1. x3x2x1
    Dividendo2−34−5
    −(2x)(x2 + 1)−20−2
    Resta−32−5
    −(−3)(x2 + 1)303
    Resta2−2
    Divisorx2 + 1
    Cociente2x − 3
    Resto2x − 2
    1. Ronda 1. Divide los primeros términos: 2x3 ÷ x2 = 2x. Multiplica por todo el divisor: (2x)(x2 + 1) = 2x3 + 2x. Resta (cambia los signos): queda −3x2 + 2x − 5.
    2. Ronda 2. Divide los primeros términos: −3x2 ÷ x2 = −3. Multiplica por todo el divisor: (−3)(x2 + 1) = −3x2 − 3. Resta (cambia los signos): queda 2x − 2.

Resultado: cociente 2x − 3 y resto 2x − 2

Pruébalo tú

Divide 4x3 − 6x2 + 2x − 1 entre (2x − 1).

Comprobar mi resultado
  1. x3x2x1
    Dividendo4−62−1
    −(2x2)(2x − 1)−42
    Resta−42−1
    −(−2x)(2x − 1)4−2
    Resta−1
    Divisor2x − 1
    Cociente2x2 − 2x
    Resto−1
    1. Ronda 1. Divide los primeros términos: 4x3 ÷ 2x = 2x2. Multiplica por todo el divisor: (2x2)(2x − 1) = 4x3 − 2x2. Resta (cambia los signos): queda −4x2 + 2x − 1.
    2. Ronda 2. Divide los primeros términos: −4x2 ÷ 2x = −2x. Multiplica por todo el divisor: (−2x)(2x − 1) = −4x2 + 2x. Resta (cambia los signos): queda −1.

Resultado: cociente 2x2 − 2x y resto −1

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